PENGGUNAAN TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR

1. Penggunaan Teorema Sisa

a. Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear

Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear, kita dapat menggunakan teorema sisa.

Teorema Sisa 1

Jika suku banyak f(x) dibagi (x - k), maka sisa pembagiannya adalah f(k).

Untuk lebih memahami penerapan teorema tersebut,


Teorema Sisa 2



b. Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat

Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, kita dapat menggunakan teorema sisa berikut ini.

Teorema Sisa 3

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x - a)(x - b), maka sisanya adalah px + q dimana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.



2. Penggunaan Teorema Faktor

Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku banyak. Perhatikan teorema faktor berikut ini.

Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x - k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0.


3. Penyelesaian Persamaan Suku Banyak

Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukan akar-akar persamaan yang memenuhi f(x)= 0. Kita dapat menyelesaikan persamaan suku banyak dengan menentukan faktor linear.

Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x - k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar persamaan f(x) = 0.

Untuk lebih memahami tentang persamaan suku banyak dan penyelesaiannya, pelajarilah contoh soal berikut.



4. Pembuktian Teorema Sisa dan Teorema Faktor

a. Pembuktian Teorema Sisa

1. Pembuktian teorema sisa 1

Teorema sisa 1 menyatakan bahwa jika f(x) dibagi (x - k), maka sisa pembagiannya adalah f(k). Perhatikanlah uraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut.

Diketahui f(x) = (x - k) h(x) + S. Derajat S lebih rendah satu daripada derajat (x - k), sehingga S merupakan konstanta. Karena f(x) = (x - k) h(x) + S berlaku untuk semua x, maka jika x diganti k akan diperoleh:


Penyelesaian


2. Pembuktian teorema sisa 2


b. Pembuktian Teorema Faktor

Teorema faktor menyatakan bahwa jika f(x) suatu suku banyak, maka x - h merupakan faktor f(x) jika dan hanya jika f(h) = 0. Perhatikanlah uraian berikut ini untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut.

Diketahui menurut teorema sisa f(x) = (x - k). h(x) + f(k). Jika f(k) = 0, maka f(x) = (x - k). h(x). Sehingga x - k merupakan faktor dari f(x). Sebaliknya, jika x - k merupakan faktor dari f(x), maka f(x) = (x - k). h(x).


Jadi, f(k) = 0 jika dan hanya jika (x - k) merupakan faktor dari f(x) (terbukti).